Математика в капусте брокколи. Как теория фракталов изменила мир

В быту слово «фрактал» используется крайне редко. Однако примеры фракталов окружают нас повсюду. Деревья, облака, русла рек, горы и даже наши легкие – все это воплощение теории фракталов: многократно повторяемые, подобные друг другу элементы, которые лежат в основе Вселенной.

Каждую среду в 21 час на площадке у здания филфака ННГУ (Большая Покровская, 37) открывается кинолекторий. Нижегородцам показывают научно-популярные фильмы на различные темы. Показ предваряет краткий экскурс в науку - лекция от нижегородского ученого. По завершении просмотра фильма ему можно задать любые вопросы.

Вечер 15 июля был посвящен фракталам, о которых рассказала доцент кафедры математического моделирования экономических процессов Института экономики и предпринимательства ННГУ, кандидат физико-математических наук Ольга Мичасова. Редакция NN.RU публикует выдержки из её лекции.

Термины. Что такое фрактал? Как он выглядит?

Фрактал – структура или форма, части которой повторяют целое. В школе мы проходили курс обычной Евклидовой геометрии. Мы имели дело с ровным, гладкими объектами: конусами, параллелепипедами, шарами. Они очень простые, для них существуют простейшие формулы и никаких проблем для того, чтобы измерить их длину, ширину, объем нет. Но есть ли они в реальной жизни?

Даже простой кирпич, который похож на «школьный» параллелепипед, на самом деле не гладкий: он шероховатый, с порами и выемками. Простейшие формы имеют неровную поверхность: конусообразная гора поросла лесом, поверхность теннисного мячика (шара) покрыта ворсинками и так далее. Что делать с такими негладкими, нечеткими объектами?

Математики, физики очень любят упрощать. Можно предположить, что гора – это конус. Но если использовать эти приближенные данные для моделирования, получатся такие же приблизительные данные. Для решения этой задачи и пригодились фракталы.

Бытовой пример фрактала – это капуста брокколи. Если взять кочан капусты, отделить от него веточку, то мы обнаружим, что эта веточка похожа на весь кочан. Если отделить веточку от веточки, то получится, что обе они ничем друг от друга не отличаются. Фрактал – это когда мы делим объект на части, а части выглядят так же, как целое.

Вообще, примеров фракталов в живой природе – множество, фракталы нас просто окружают. К примеру, деревья, кораллы, снежинки, русла рек, береговые линии и так далее, и так далее. Как мы можем использовать знание о том, что определенные объекты являются фракталами?

Адронный коллайдер из первых уст: «Мы исследуем детали машинки, сломавшейся 14 млрд лет назад»

Вдоль берега с линейкой. Для чего нужны фракталы?

Как измерить длину объекта? Если есть прямая, это просто: взять линейку и приложить. Если это кривая, соединить крайние точки линейкой – мы получим условную длину. Если линейка короткая, поделить кривую на отрезки и сложить их. Получится более точная длина, но она будет больше. И чем короче будет линейка, чем меньше отрезков – тем больше длина. Если придется мерить длину береговой линии, к примеру, от Сочи до Анапы, то пройти это расстояние, замеряя шаги, будет сложно. Можно взять линейку и померить по карте. Но чем больше масштаб, тем более ломанной будет береговая линия.

Было замечено, что если сокращать длину линейки в два раза, длина измеряемой линии будет постоянно расти. Скорость, с которой растет длина линии, называется фрактальным измерением. Это число можно получить, три-четыре раза посчитав его в разных масштабах. Затем подставить эту величину в математическую формулу и подсчитать длину со сколь угодной точностью.

С помощью фракталов может быть решена проблема точности измерения. К примеру, разница длины границы Франции и Бельгии между данными Франции и Бельгии составляет порядка 150 км. У Франции она короче, поскольку французы измерили её иначе, чем бельгийцы.

Задолго до фракталов. Парадоксы бесконечностей

Понятие фрактала появилось в середине прошлого века. Однако математические примеры фракталов (хотя они тогда так ещё не назывались) существовали гораздо раньше, как парадоксы (иллюстрации - в галерее фото).

Первый – «Пыль Кантора». Георг Кантор, живший в середине XIX века, взял отрезок прямой, поделил его на три части, выкинул серединку, а с оставшимися отрезками проделал то же, что с исходным. Получилась бесконечность отрезков, множество точек, которые были симметричны и выглядели случайными скоплениями.

Второй – «Кривая Коха», «Снежинка Коха». Это угол, образованный на прямой линии. Каждый отрезок этого угла разделили ещё на три части и на каждой снова построили выступ. Так – до бесконечности. Если прямую замкнуть, появится звездочка, а затем – снежинка. Казалось бы, что длина у неё конечная. Но если все углы продолжать делить на отрезки, длина окажется бесконечной.

Третий – «Салфетка Серпинского». У нас есть равносторонний треугольник, к серединам сторон которого пристраиваются другие треугольники. В фигуру конечной площади помещается бесконечное число треугольников.

От неизвестности к тайнам Вселенной. Отгадка Мандельброта

Теорию фракталов сформулировал и обобщил Бенуа Мандельброт – уникальный человек с непростой судьбой. Мандельброт родился в Польше и до 14 лет не умел ни считать, ни писать (его отец считал, что образование ему не нужно). Поскольку Мандельброты были евреями, во время Второй мировой войны Бенуа бежал во Францию, к родственникам. Юношу укрывали в школе. На занятиях он слушал уроки, но не понимал ничего, о чем говорят: не знал цифр, не мог произвести простейших вычислений.

Однако однажды, когда учитель доказывал длинную теорему с помощью продолжительных алгебраических вычислений, Бенуа внезапно заявил, что решение гораздо проще. Он изобразил это решение графически, и оказалось, что все, действительно, просто и можно не писать формулы. У Бенуа было хорошее пространственное воображение: он мог хорошо представить себе очень сложные геометрические фигуры. Благодаря этому таланту, он смог обобщить теорию фракталов и увидеть в природе то, что другие раньше не замечали.

Бенуа получил высшее образование: окончил политехническую школу в Париже, технологический институт в США, получил докторскую степень по математике. Кстати, он выбрал довольно оригинальную тему: Мандельброт доказал, что по частоте употребления определенных групп слов в литературном произведении можно определить, насколько хорош язык автора, насколько высоко его качество.

Применение в экономике. Фрактальный Доу Джонс

После защиты докторской математик устроился в научно-исследовательский центр компании IBM (одного из крупнейших мировых производителей компьютерного оборудования) в Йорктауне. Он начал проводить исследования в области криптографии, социологии, компьютерах вычислений.

В конце 1950-х, когда у IBM существовали финансовые проблемы, Мандельброта попросили проанализировать динамику стоимость акций на фондовом рынке США. Поскольку у IBM было слишком мало статистических данных, Мандельброт взял данные о ценах на хлопок, которым юг и север США торговали несколько веков. Ученый пришел к выводу, что график изменения цен на хлопок подобен фракталу – глядя на него, невозможно установить, месячные изменения он отражает или годичные. Если разбить этот график на фрагменты, структуры подобные.

Математик установил, что некоторые финансовые показатели можно представить как фрактальную структуру. К примеру, индекс Доу Джонса (финансовое состояние 30 крупнейших промышленных корпораций США) в разном масштабе выглядит одинаково. Это – повторяемость фрактала.

Современность. Критика и научные успехи

Работу Бенуа Мандельброта восприняли неоднозначно, поскольку она ценна для понимания процессов, но на её основе невозможно сделать прогнозы. На фондовый рынок влияет буквально все и всегда есть место случайности, которую экономистам хотелось предусмотреть. Да и основная ценность математической модели, в частности, в экономике – это именно прогноз, а не описание.

Книги, написанные Мандельбротом, доступны для любого читателя. В них мало формул и математики, много графиков и схем. Его статьи более позднего периода вызвали волну критики, которая продолжается до сих пор. Однако наука продолжает развиваться, и новые работы, связанные с теорией фракталов, возникают регулярно. Так, опираясь на теорию фракталов, ботаники открыли, что распределение коротких и длинных веток на дереве подобно распределению маленьких и больших деревьев в лесу, где оно растет. Онкологи открыли, что в здоровой почке кровь распределяется по древовидной схеме, а в больной, в которой есть неразличимая на ранних стадиях раковая опухоль, она спутана, хаотична. Обо всем этом рассказывается в фильме BBC. Кстати, в искусстве есть отдельное направление, также основанное на создании рисунков-фракталов.